线性代数示例

$- x + 3 y + 10 z = 8$ $4 x - 9 y - 34 z = - 17$ $3 x + 5 y - 2 z = 46$

解题步骤 1

把方程组写成矩阵。

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 & 10 & 8 \\ 4 & - 9 & - 34 & - 17 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- 1$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- 1$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 10 & - 1 \cdot 8 \\ 4 & - 9 & - 34 & - 17 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 4 & - 9 & - 34 & - 17 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 9 - 4 \cdot - 3 & - 34 - 4 \cdot - 10 & - 17 - 4 \cdot - 8 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 3 & 6 & 15 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

解题步骤 2.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 3 & 6 & 15 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot - 3 & - 2 - 3 \cdot - 10 & 46 - 3 \cdot - 8 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 3 & 6 & 15 \\ 0 & 14 & 28 & 70 \end{array}]$

解题步骤 2.4

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{3}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{3}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{6}{3} & \frac{15}{3} \\ 0 & 14 & 28 & 70 \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 14 & 28 & 70 \end{array}]$

解题步骤 2.5

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 14 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.5.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 14 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 - 14 \cdot 0 & 14 - 14 \cdot 1 & 28 - 14 \cdot 2 & 70 - 14 \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.6

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.6.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 10 + 3 \cdot 2 & - 8 + 3 \cdot 5 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x - 4 z = 7$

$y + 2 z = 5$

$0 = 0$

解题步骤 4

解为使方程组成立的有序对集合。

$(7 + 4 z, 5 - 2 z, z)$

线性代数 示例

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